Kvadratické rovnice – Řešené příklady

Každá kvadratická rovnice má tvar ax² + bx + c = 0

1. krok

Budeme řešit příklad 2x² – 1x -6 = 0

Pro řešení kvadratických rovnic musíme znát jednoduchý vztah, takzvaný výpočet přes diskriminant. Číslo, které stojí před je koeficient a, číslo, které stojí před x, je koeficient b a samotné číslo před znaménkem rovnosti je koeficient c.
V našem případě je a = 2, b = -1 a c = -6.
Diskriminantem nazýváme výraz: D = b² – 4ac
Vyjde-li diskriminant kladný, rovnice má hned 2 kořeny. Je-li diskriminant nulový, rovnice má přesně jeden kořen. Je-li však hodnota diskriminantu záporná, rovnice žádné řešení (v oboru reálných čísel) nemá.

D={ (-1) }^{ 2 }-4\cdot 2\cdot (-6)=\quad 49

Pokud je diskriminant je větší než 0, tudíž bude mít rovnice 2 řešení!  Pokud je diskriminant roven 0, rovnice má pouze 1 řešení!

2. krok

Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice:

kvad1

 

 

Dosadíme koeficienty ze zadané rovnice:

{ x }_{ 1 }=\frac { -b_{ - }^{ + }{ \sqrt { D } } }{ 2a } =\quad \frac { 1+\sqrt { 49 } }{ 2\cdot 2 } =\quad 2

{ x }_{ 2 }=\frac { -b_{ - }^{ + }{ \sqrt { D } } }{ 2a } =\quad \frac { 1-\sqrt { 49 } }{ 2\cdot 2 } =\quad -\frac { 3 }{ 2 }

3. krok

Zapíšeme výsledek jako

K=\left\{ 2;-\frac { 3 }{ 2 } \right\}

Řešené příklady: 

 

 x² – 2x + 1 = 0
 4x² + x = 0
3x² + x – 2 = 0
 2x² – 11x + 14 = 0
 x² + 2x – 63 = 0
 x² – 16x + 48 = 0
 9y² – 12y + 4 = 0
 -2x² – 15x + 8 = 0
 3x² + 5x – 2 = 0